평면 방정식 의미(개발자 관점)

평면의 방정식은

3점이 주어지거나 평면의 노말, 한 점이 주어지면 구할 수 있습니다. 일반적으로

평면의 방정식을 ax+by+cz+d = 0 이라고 나타낼 수 있는데, 여기서 a,b,c는 평면의 노말로 볼 수 있고, x,y,z는 평면의 한 점이라고 볼 수 있습니다. 이를 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.

 

평면의 방정식의 d를 우변으로 넘기면 ax+by+cz = -d로 나타낼 수 있는데, ax+by+cz 를 자세히 보면 

어디서 많이 봤던 식의 형태가 나옵니다.
바로 내적을 구하는 식입니다. 따라서 ax+by+cz = (a,b,c)•(x,y,z)로 볼 수 있습니다.
그래서 평면방정식은 (a,b,c)•(x,y,z) = -d로 바꿔 쓸 수 있고, 이 식의 의미는 평면의 한 점과 평면의 노말을 내적 한 값이 -d라고 볼 수 있습니다.

 

 

이 식을 활용하면 평면의 노말 백터에 임의의 한점을 내적 한 값이 -d 이면 평면 위에 있는 점이라고 할 수 있습니다.

또한 임의의 점에 평면 노말을 내적 한 값이 -d보다 크면 원점으로 부터 노말 방향으로 평면에 가로지르는 점이고, -d보다 작으면 평면을 가로지르지 않는 점이라고 판단하면 됩니다.
그리고 임의의 한 점을 벡터로 내적한다는 의미는 임의의 한 점을 백터에 정사영(orthographic projection) 한다는 의미이며, 내적 해서 얻는 값은 원점(0,0,0)으로부터 백터에 정사영 한 점의 위치까지의 길이를 나타냅니다.
그래서 평면의 방정식 ax+by+cz = -d는 임의의 점을 백터 (a,b,c)에 정사영하여 원점으로부터 거리가 -d인 점들의 집합이라 볼 수 있습니다.

 

3점을 이용해서 평면 방정식을 구하는 것을 아래글을 참고하세요.

2024.09.26 - [3D Algorithm] - 3점 평면 방정식 계산

3점 평면 방정식 계산