3차원 두 직선 교차점(Two Line Intersection)

 

3차원에서 두 직선 교차점을 찾는 방법 2가지를 소개하겠습니다.

1. 첫 번째 행렬식을 이용한 교차점 계산입니다.

 

점 4개 p1, p2, p3, p4가 있고 직선의 두 벡터 d1(p2-p1), d2(p4-p3)가 있을 때(두 벡터는 길이 1로 정규화)
직선 1 : p1+td1
직선 2:  p3+sd2
로 볼 수 있으며, 교차점 있다는 것은 
p1+td1 = p3+sd2
이 식으로 표현이 가능합니다. 이때 t와 s를 구하면 됩니다.

직선 식 참고는 아래글에서 확인하세요.

2024.04.24 - [3D Algorithm] - 3차원 직선 계산 및 벡터 표현(개발자 관점)

3차원 직선 계산 및 벡터 표현(개발자 관점)

 

x, y, z로 분리해서 식을 만들면
 p1x + td1x = p3x + sd2x
 p1y + td1y = p3y + sd2y
 p1z + td1z = p3z + sd2z

t, s 미지수를 ax=b 형태로 만들면 아래와 같이 행렬식이 됩니다.
 (d1x    -d2x)  ( t )  = (p3x-p1x)
 (d1y    -d2y)  ( s )  = (p3y-p1y)
 (d1z    -d2z)  (   )  = (p3z-p1z)

 

이 행렬식을 풀어 t, s를 구해 교차점을 구하면 됩니다.
eigen library 이용해서 t, s를 구하는 건 아래글을 참고하세요.

2023.11.28 - [3D Algorithm] - 세 점을 지나는 원 중심 계산(Eigen Library 이용한 최소자승법)

세 점을 지나는 원 중심 계산(Eigen Library 이용한 최소자승법)

 

 

2. 두 번째  벡터 내적과 외적을 이용한 교차점 계산입니다.

벡터 외적은 두 벡터로 이루어진 평행사변형의 면적과 관련이 있다고 했습니다. 아래글은 벡터 외적을 이용해서 삼각형의 면적을 구하는 글입니다.

2023.12.26 - [3D Algorithm] - 3차원 삼각형 면적 계산 5가지 방법(좌표, 길이, 각도, 외적 이용)

3차원 삼각형 면적 계산 5가지 방법(좌표, 길이, 각도, 외적 이용)

 

같은 벡터를 외적 하면 면적이 0이기 때문에 외적이 0으로 계산됩니다. 이걸 이용해서 아래식이 유도가 됩니다.

출처: Real-Time-Rendering

 

위 식에서 구해지는 s 혹은 t를 이용해서 교차점을 계산하면 됩니다.

s의 분모 ||d1 X d2||^2가 0이면 두 직선은 교차점 없이 평행하다고 봐야 합니다.

참고 url: https://www.realtimerendering.com/intersections.html#I304

Object/Object Intersection